已知函数(a为常数).（1）当a=0时，求曲线y=f(x)在点(e，f(e))处的切线与两坐标轴围成的三角形的...

问题详情：

已知函数(a为常数).

（1）当a=0时，求曲线y=f(x)在点(e，f(e))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若存在使得，求a的取值范围.

【回答】

（1）；（2）.

【解析】

（1）求出在处的导数值，即切线斜率，再求出，即可求出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距即可求出三角形面积；

（2）分和两种情况讨论函数的单调*，求出的最小值，满足即可求出的范围.

【详解】

（1）函数f(x)的定义域为(0，+∞)，因为，

当a=0时，，，切线方程为，

令x=0，解，令y=0，解得所以

（2）若要存在使得，则只需f(x)在[1，+∞)上的最小值小于0即可，

当时，在(1，+∞)恒成立，函数f(x)在x=1处取得最小值，

所以，解得；

当时，函数在[1，a)上单调递减，在[a，+∞)上单调递增，

则当x=a时取得极小值也是最小值，

由，解得，

综上可得：a的取值范围是.

【点睛】

本题考查利用导数求切线问题，考查利用导数研究不等式能成立问题，属于中档题.

知识点：导数及其应用

题型：解答题