(1)求抛物线的函数表达式;(2)分别求出点B和点E的坐标;(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(...
问题详情:
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)分别求出点B和点E的坐标;
(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,m),直线PB与直线l交于点Q.试探究:当m为何值时,△OPQ是等腰三角形.
第8题图
【回答】
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx-8经过点A(-2,0),D(6,-8),
∴将A、D两点的坐标代入得,
解得,
∴抛物线的函数表达式为y=x2-3x-8;
(2)∵y=x2-3x-8=(x-3)2-,
∴抛物线的对称轴为直线x=3,
又∵抛物线与x轴交于A,B两点,点A的坐标为(-2,0),
∴点B的坐标为(8,0).
设直线l的函数表达式为y=kx,
∵点D(6,-8)在直线l上,
代入得6k=-8,解得k=-,
∴直线l的函数表达式为y=-x,
∵点E为直线l和抛物线对称轴的交点,
∴点E的横坐标为3,纵坐标为-×3=-4,即点E的坐标为(3,-4);
(3)需分两种情况进行讨论:
①当OP=OQ时,△OPQ是等腰三角形,如解图①,
第8题解图①
∵点E的坐标为(3,-4),
∴OE==5,
过点E作直线ME∥PB,交y轴于点M,交x轴于点H,
则=,
∴OM=OE=5,
∴点M的坐标为(0,-5),
设直线ME的函数表达式为y=k1x-5,E(3,-4)在直线ME上,
∴3k1-5=-4,解得k1=,
∴直线ME的函数表达式为y=x-5,
令y=0,解得x=15,
∴点H的坐标为(15,0).
又∵MH∥PB,
∴=,即=,
∴m=-;
②当QO=QP时,△OPQ是等腰三角形,如解图②,
第8题解图②
∵当x=0时,y=x2-3x-8=-8,
∴点C的坐标为(0,-8),
∴CE==5,
∴OE=CE,
∴∠1=∠2,
又∵QO=QP,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴CE∥PB.
设直线CE交x轴于点N,其函数表达式为y=k2x-8,
E(3,-4)在直线CE上,
∴3k2-8=-4,解得k2=,
∴直线CE的函数表达式为y=x-8,
令y=0,得x-8=0,
∴x=6,
∴点N的坐标为(6,0).
∵CN∥PB.
∴=,
∴=,解得m=-.
综上所述,当m的值为-或-时,△OPQ是等腰三角形.
知识点:二次函数的图象和*质
题型:解答题