已知函数是定义在R上的奇函数，其中g(x)为指数函数，且y＝g(x)的图象过定点(2，9)．(1)求函数f(x...

问题详情：

已知函数是定义在R上的奇函数，其中g(x)为指数函数，且y＝g(x)的图象过定点(2，9)．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若关于x的方程，f(x)=a有解，求实数a的取值范围；

(3)若对任意的t∈[0，5]，不等式f(t2＋2kt)＋f(－2t2－4)>0恒成立，求实数k的取值范围．

【回答】

解：(1)设g(x)＝ax(a>0，且a≠1))，则a2＝9，

所以a＝－3 (舍去)或a＝3，

所以g(x)＝3x，f(x)＝.

又f(x)为奇函数，且定义域为R，

所以f(0)＝0，即＝0，所以m＝1，

所以f(x)＝.

(2)

(3)设x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为x1<x2，所以3x2－3x1>0，

所以>0，

所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

所以函数f(x)在R上单调递减．

要使对任意的t∈[0，5]，

f(t2＋2kt)＋f(－2t2-4)>0恒成立，

即对任意的t∈[0，5]，

f(t2＋2kt)>－f(－2t2-4)恒成立．

因为f(x)为奇函数，

所以f(t2＋2kt)>f(2t2＋4)恒成立．

又因为函数f(x)在R上单调递减，

所以对任意的t∈[0，5]，t2＋2kt<2t2＋4恒成立，

即对任意的t∈[0，5]，t2－2kt＋4>0恒成立．

令h(t)=t2－2kt＋4，t∈[0，5]，

时，

‚

所以，.

ƒ，，无解.

综上，k<2.

知识点：*与函数的概念

题型：解答题