二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:...
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二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)2a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)5a+7b+2c>0;(4)若点A(﹣3,y1)、点B(﹣,y2)、点C(,y3)在该函数图象上,则y1<y2<y3;(5)若方程a(x+1)(x﹣5)=c的两根为x1和x2,且x1<x2,则x1<﹣1<5<x2,其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【回答】
C【考点】HA:抛物线与x轴的交点;H4:二次函数图象与系数的关系.
【分析】(1)根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2,则有4a+b=0;
(2)观察函数图象得到当x=﹣3时,函数值小于0,则9a﹣3b+c<0,即9a+c<3b;
(3)由(1)得b=﹣4a,由图象过点(﹣1,0)得:c=﹣5a,代入5a+7b+2c中,根据a的大小可判断结果是正数还是负数,
(4)根据当x<2时,y随x的增大而增大,进行判断;
(5)由(x+1)(x﹣5)<0,由图象可知:x<﹣1或x>5可得结论.
【解答】解:(1)﹣=2,
∴4a+b=0,
所以此选项不正确;
(2)由图象可知:当x=﹣3时,y<0,
即9a﹣3b+c<0,
9a+c<3b,
所以此选项不正确;
(3)∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵4a+b=0,
∴b=﹣4a,
把(﹣1,0)代入y=ax2+bx+c得:a﹣b+c=0,
a+4a+c=0,
c=﹣5a,
∴5a+7b+2c=5a﹣7×(﹣4a)+2×(﹣5a)=﹣33a>0,
∴所以此选项正确;
(4)由对称*得:点C(,y3)与(0.5,y3)对称,
∵当x<2时,y随x的增大而增大,
且﹣3<﹣<0.5,
∴y1<y2<y3;
所以此选项正确;
(5)∵a<0,c>0
∴(x+1)(x﹣5)=<0,
即(x+1)(x﹣5)<0,
故x<﹣1或x>5,
所以此选项正确;
∴正确的有三个,
故选C.
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于(0,c);抛物线是轴对称图形,明确抛物线的增减*与对称轴有关,并利用数形结合的思想综合解决问题.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:选择题