已知：二次函数y=ax2﹣2x+c的图象与x于A、B，A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=1，平...

问题详情：

已知：二次函数y=ax2﹣2x+c的图象与x于A、B，A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=1，平移一个单位后经过坐标原点O

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）直线交y轴于D点，E为抛物线顶点．若∠DBC=α，∠CBE=β，求α﹣β的值；

（3）在（2）问的前提下，P为抛物线对称轴上一点，且满足PA=PC，在y轴右侧的抛物线上是否存在点M，使得△BDM的面积等于PA2？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）由题意，A（﹣1，0），

∵对称轴是直线x=1，

∴B（3，0）；（1分）

把A（﹣1，0），B（3，0）分别代入y=ax2﹣2x+c

得；（2分）

解得．

∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3．

（2）∵直线与y轴交于D（0，1），

∴OD=1，

由y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4得E（1，﹣4）；

连接CE，过E作EF⊥y轴于F（如图1），则EF=1，

∴OC=OB=3，CF=1=EF，

∴∠OBC=∠OCB=∠45°，

BC==，

；

∴∠BCE=90°=∠BOD，，

，

∴，

∴△BOD∽△BCE，（6分）

∴∠CBE=∠DBO，

∴α﹣β=∠DBC﹣∠CBE=∠DBC﹣∠DBO=∠OBC=45°．（7分）

（3）设P（1，n），

∵PA=PC，

∴PA2=PC2，即（1+1）2+（n﹣0）2=（1+0）2+（n+3）2

解得n=﹣1，

∴PA2=（1+1）2+（﹣1﹣0）2=5，

∴S△EDW=PA2=5；（8分）

法一：设存在符合条件的点M（m，m2﹣2m﹣3），则m＞0，

①当M在直线BD上侧时，连接OM（如图1），

则S△BDM=S△OBM+S△ODM﹣S△BOD=5，

即，

，

整理，得3m2﹣5m﹣22=0，

解得m1=﹣2（舍去），，

把代入y=m2﹣2m﹣3得；

∴；（10分）

②当M在直线BD下侧时，不妨叫M1，连接OM1（如图1），

则S△BDM1=S△BOD+S△BOM1﹣S△DOM1=5，

即，

，

整理，得3m2﹣5m﹣2=0，

解得，（舍去）

把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3，

∴M1（2，﹣3）；

综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为或（2，﹣3）．（12分）

法二：设存在符合条件的点M（m，m2﹣2m﹣3），则m＞0，

①当M在直线BD上侧时，过M作MG∥y轴，

交DB于G；（如图2）

设D、B到MG距离分别为h1，h2，则

S△BDM=S△DMG﹣S△BMG=5，

即，

，

，

整理，得3m2﹣5m﹣22=0；

解得m1=﹣2（舍去），；

把代入y=m2﹣2m﹣3

得；

∴．（10分）

②当M在直线BD下侧时，不妨叫M1，过M1作M1G1∥y轴，交DB于G1（如图2）

设D、B到M1G1距离分别为h1、h2，则S△BDM=S△DM1G1+S△BM1G1=5，

即，

，

，

整理，得3m2﹣5m﹣2=0，

解得，（舍去）

把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3，

∴M1（2，﹣3）；

综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为或（2，﹣3）．（12分）

法三：①当M在直线BD上侧时，过M作MH∥BD，交y轴于H，连接BH；（如图3）

则S△DHB=S△BDM=5，

即，，

∴DH=，

∴；

∴直线MH解析式为；

联立

得或；

∵M在y轴右侧，

∴M坐标为．（10分）

②当M在直线BD下侧时，不妨叫M1，过M1作M1H1∥BD，交y轴于H1，

连接BH1（如图3），同理可得，

∴，

∴直线M1H1解析式为，

联立

得或；

∵M1在y轴右侧，

∴M1坐标为（2，﹣3）

综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为或（2，﹣3）．（12分）

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题