如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA=OC，对称轴为直线...

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如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA=OC，对称轴为直线x=1，则下列结论：①abc＜0；②a+b+c=0；③ac+b+1=0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根．其中正确的有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【回答】

B 【解析】

解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴为直线x=-=1， ∴b=-2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，所以①正确； ∵b=-2a， ∴a+b=a-a=0， ∵c＞0， ∴a+b+c＞0，所以②错误； ∵C（0，c），OA=OC， ∴A（-c，0），把A（-c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2-bc+c=0， ∴ac-b+1=0，所以③错误； ∵A（-c，0），对称轴为直线x=1， ∴B（2+c，0）， ∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，所以④正确；故选：B． ①由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断； ②根据对称轴是直线x=1，可得b=-2a，代入a+b+c，可对②进行判断； ③利用OA=OC可得到A（-c，0），再把A（-c，0）代入y=ax2+bx+c即可对③作出判断； ④根据抛物线的对称*得到B点的坐标，即可对④作出判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，熟练掌握二次函数的*质是关键．