设椭圆的焦点在轴上,离心率为,抛物线的焦点在轴上,的中心和的顶点均为原点,点在上,点在上,(1)求曲线,的标准...
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问题详情:
设椭圆的焦点在轴上,离心率为,抛物线的焦点在轴上, 的中心和的顶点均为原点,点在上,点在上,
(1)求曲线, 的标准方程;
(2)请问是否存在过抛物线的焦点的直线与椭圆交于不同两点,使得以线段为直径的圆过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
【回答】
解:
(1)设的方程为,则.所以椭圆的方程为.点在上,设的方程为,则由,得.所以抛物线的方程为.
(2)因为直线过抛物线的焦点.当直线的斜率不存在时,点,或点,显然以线段为直径的圆不过原点,故不符合要求;
当直线的斜率存在时,设为,则直线的方程为,
代入的方程,并整理得.
设点,则,
.
因为以线段为直径的圆过原点,所以,所以,所以,所以.化简得,无解.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题