如图，已知⊙A的圆心为点（3，0），抛物线y＝ax2﹣x+c过点A，与⊙A交于B、C两点，连接AB、AC，且A...

问题详情：

如图，已知⊙A的圆心为点（3，0），抛物线y＝ax2﹣x+c过点A，与⊙A交于B、C两点，连接AB、AC，且AB⊥AC，B、C两点的纵坐标分别是2、1．

（1）请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；

（2）直线y＝kx+1经过点B，与x轴交于点D．点E（与点D不重合）在该直线上，且AD＝AE，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；

（3）如果直线y＝k1x﹣1与⊙A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．

【回答】

【解答】解：（1）过点B、C分别作x轴的垂线交于点R、S，

∵∠BAR+∠RAB＝90°，∠RAB+∠CAS＝90°，

∴∠RAB＝∠CAR，又AB＝AC，

∴RtBRA△≌Rt△ASC（AAS），

∴AS＝BR＝2，AR＝CS＝1，

故点B、C的坐标分别为（2，2）、（5，1），

将点B、C坐标代入抛物线y＝ax2﹣x+c并解得：

a＝，c＝11，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x+11；

（2）将点B坐标代入y＝kx+1并解得：y＝x+1，则点D（﹣2，0），

点A、B、C、D的坐标分别为（3，0）、（2，2）、（5，1）、（﹣2，0），

则AB＝，AD＝5，

点E在直线BD上，则设E的坐标为（x，x+1），

∵AD＝AE，则52＝（3﹣x）2+（x+1）2，

解得：x＝﹣2或6（舍去﹣2），

故点E（6，4），

把x＝6代入y＝x2﹣x+11＝4，

故点E在抛物线上；

（3）①当切点在x轴下方时，

设直线y＝k1x﹣1与⊙A相切于点H，直线与x轴、y轴分别交于点K、G（0，﹣1），连接GA，

AH＝AB＝，GA＝，

∵∠AHK＝∠KOG＝90°，∠HKA＝∠HKA，∴△KOG∽△KHA，

∴，即：，

解得：KO＝2或﹣（舍去﹣），

故点K（﹣2，0），

把点K、G坐标代入y＝k1x﹣1并解得：

直线的表达式为：y＝﹣x﹣1；

②当切点在x轴上方时，

直线的表达式为：y＝2x﹣1；

故满足条件的直线解析式为：y＝﹣x﹣1或y＝2x﹣1．

知识点：各地中考

题型：综合题