如图1，△ABC中，∠C=90°，线段DE在*线BC上，且DE=AC，线段DE沿*线BC运动，开始时，点D与点...
问题详情：
如图1，△ABC中，∠C=90°，线段DE在*线BC上，且DE=AC，线段DE沿*线BC运动，开始时，点D与点B重合，点D到达点C时运动停止，过点D作DF=DB，与*线BA相交于点F，过点E作BC的垂线，与*线BA相交于点G．设BD=x，四边形DEGF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤m，1＜x≤m，m＜x≤3时，函数的解析式不同）
（1）填空：BC的长是 ；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
【回答】
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由图象即可解决问题．
（2）分三种情形①如图1中，当0≤x≤1时，作DM⊥AB于M，根据S=S△ABC﹣S△BDF﹣S四边形ECAG即可解决．
②如图2中，作AN∥DF交BC于N，设BN=AN=x，在RT△ANC中，利用勾股定理求出x，再根据S=S△ABC﹣S△BDF﹣S四边形ECAG即可解决．
③如图3中，根据S=
CD•CM，求出CM即可解决问题．
【解答】解；（1）由图象可知BC=3．
故*为3．
（2）①如图1中，当0≤x≤1时，作DM⊥AB于M，
由题意BC=3，AC=2，∠C=90°，
∴AB=
=
，
∵∠B=∠B，∠DMB=∠C=90°，
∴△BMD∽△BCA，
∴
=
=
，
∴DM=
，BM=
，
∵BD=DF，DM⊥BF，
∴BM=MF，
∴S△BDF=
x2，
∵EG∥AC，
∴
=
，
∴
=
，
∴EG=
（x+2），
∴S四边形ECAG=
[2+
（x+2）]•（1﹣x），
∴S=S△ABC﹣S△BDF﹣S四边形ECAG=3﹣
x2﹣ [2+（x+2）]•（1﹣x）=﹣
x2+
x+
．
②如图②中，作AN∥DF交BC于N，设BN=AN=x，
在RT△ANC中，∵AN2=CN2+AC2，
∴x2=22+（3﹣x）2，
∴x=
，
∴当1＜x≤
时，S=S△ABC﹣S△BDF=3﹣
x2，
③如图3中，当＜x≤3时，
∵DM∥AN，
∴
=
，
∴
=
，
∴CM=
（3﹣x），
∴S=
CD•CM=
（3﹣x）2，
综上所述S=
．
【点评】本题考查四边形综合题、等腰三角形的*质、相似三角形的*质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，正确画出图形，属于中考压轴题．
知识点：各地中考
题型：解答题
