两个直角边为6的全等的等腰和按如图1所示的位置放置,与重合,与重合.(1)如图1中,求、、三点的坐标;(2)固...
问题详情:
两个直角边为6的全等的等腰和按如图1所示的位置放置,与重合,与重合.
(1)如图1中,求、、三点的坐标;
(2)固定不动,沿轴以每秒2个单位长的速度向右运动,当点运动到与点重合时停止,设运动秒后和重叠部分面积为,求与之间的函数关系式;
(3)当以(2)中的速度和方向运动,运动时间秒时运动到如图2所示的位置,求经过、、三点的抛物线的解析式;
(4)现有一半径为2,圆心在(3)中的抛物线上运动的动圆,试问在运动过程中,是否存在与轴或轴相切的情况?若存在,请求出的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1),,;(2)当时,;当时,;(3)、、
【解析】
(1)主要考查线段与坐标的转化,答题的关键是把握坐标轴上横坐标或纵坐标的特殊*;(2)主要考查运动变化及分类讨论,而分类的依据是重叠部分多边形形状,即时,重叠部分的多边形是五边形;当时,重叠部分的多边形是三角形.问题(3)通常将、、三点的坐标代入构造方程组求解;问题(4)主要考查分类讨论及圆的切线的*质,应注意讨论分别与轴、轴相切的两种情况.
【详解】
解:(1)∵和均为等腰直角三角形且直角边长为6,∵.∴,,.
(2)当时,位置如图3所示,作,垂足为,可知:,,,,所以;
当时,位置如图4所示,可知,所以.
综上,当时,;当时,.
(3)如图4中,当时,,,所以,,所以可知、、.设经过、、三点的抛物线的解析式为.∵抛物线过,∴.∵抛物线过点、,∴,解得:,,∴.
(4)当在运动过程中,存在与坐标轴相切的情况.设点坐标为.当与轴相切时,有,,由,得,所以,由,得,所以,当与轴相切时,有,因为,所以,得,所以.
综上所述,符合条件的圆心有三个,其坐标分别是:、、.
【点睛】
本题以等腰直角三角形为载体,以平移变换为切入点,情景自然流畅,入口宽,但考查内容覆盖面广,含有线段与坐标的转化、面积探究、抛物线的解析式、圆与直线的位置关系等知识,突出对数形结合、待定系数法、分类讨论、函数与方程、化归法等重要的数学思想方法的考查,是一道以“能力立意”的综合*压轴题.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题