已知正方体棱长为，如图，为上的动点，平面.下面说法正确的是（ ）A．直线与平面所成角的正弦值范围为B．点与...
问题详情：
已知正方体
棱长为
，如图，
为
上的动点，
平面
.下面说法正确的是（ ）
A．直线
与平面
所成角的正弦值范围为
B．点
与点
重合时，平面
截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C．点
为
的中点时，若平面
经过点
，则平面
截正方体所得截面图形是等腰梯形
D．己知
为
中点，当
的和最小时，
为
的中点
【回答】
AC
【解析】
【分析】
以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系
，利用空间向量法可判断A选项的正误；*出
平面
，分别取棱
、
、
、
、
、
的中点
、
、
、
、
、
，比较
和六边形
的周长和面积的大小，可判断B选项的正误；利用空间向量法找出平面
与棱
、
的交点
、
，判断四边形
的形状可判断C选项的正误；将矩形
与矩形
延展为一个平面，利用
、
、
三点共线得知
最短，利用平行线分线段成比例定理求得
，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系
，则点
、
、设点
，
平面
，则
为平面
的一个法向量，且
，
，
，
所以，直线
与平面
所成角的正弦值范围为
，A选项正确；
对于B选项，当
与
重合时，连接
、
、
、
，
在正方体
中，
平面
，
平面
，
，
四边形
是正方形，则
，
，
平面
，
平面
，
，同理可*
，
，
平面
，
易知
是边长为
的等边三角形，其面积为
，周长为
.
设
、
、
、
、
、
分别为棱
、
、
、
、
、
的中点，
易知六边形
是边长为
的正六边形，且平面
平面
，
正六边形
的周长为
，面积为
，
则
的面积小于正六边形
的面积，它们的周长相等，B选项错误；
对于C选项，设平面
交棱
于点
，点
，
，
平面
，
平面
，
，即
，得
，
，
所以，点
为棱
的中点，同理可知，点
为棱
的中点，则
，
，
而
，
，
且
，
由空间中两点间的距离公式可得
，
，
，
所以，四边形
为等腰梯形，C选项正确；
对于D选项，将矩形
与矩形
延展为一个平面，如下图所示：
若
最短，则
、
、
三点共线，
，
，
，所以，点
不是棱
的中点，D选项错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题.
知识点：空间中的向量与立体几何
题型：选择题
