已知函数f（x）=+的两个极值点分别为x1，x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；点P（m，n）表示的...

问题详情：

已知函数f（x）=+的两个极值点分别为x1，x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y=loga（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是（　　）

A．（1，3]  B．（1，3） C．（3，+∞）   D．[3，+∞）

【回答】

B【考点】函数在某点取得极值的条件．

【专题】综合题；导数的综合应用．

【分析】由函数f（x）=+的两个极值点分别为x1，x2，可知：y′==0的两根x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，利用根与系数的关系可得：（x1﹣1）（x2﹣1）=+m+1＜0，得到平面区域D，且m＜﹣1，n＞1．由于y=loga（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，可得＞1，进而得出结论．

【解答】解：∵函数f（x）=+的两个极值点分别为x1，x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），

∴y′==0的两根x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，

则x1+x2=﹣m，x1x2=＞0，

（x1﹣1）（x2﹣1）=x1x2﹣（x1+x2）+1=+m+1＜0，

即n+3m+2＜0，

∴﹣m＜n＜﹣3m﹣2，为平面区域D，

∴m＜﹣1，n＞1．

∵y=loga（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，

∴loga（﹣1+4）＞1，∴＞1，

∵a＞1，∴lga＞0，

∴1g3＞lga．

解得1＜a＜3．

故选：B．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调*极值、一元二次方程的根与系数的关系、线*规划、对数函数的单调*，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

知识点：导数及其应用

题型：选择题