梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别...

问题详情：

梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（　　）

A．2.5AB       B．3AB   C．3.5AB       D．4AB

【回答】

B【考点】勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定与*质．

【专题】计算题；*题；压轴题．

【分析】过点B作BM∥AD，根据AB∥CD，求*四边形ADMB是平行四边形，再利用∠ADC+∠BCD=90°，求*△MBC为Rt△，再利用勾股定理得出MC2=MB2+BC2，在利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出MC即可．

【解答】解：过点B作BM∥AD，

∵AB∥CD，∴四边形ADMB是平行四边形，

∴AB=DM，AD=BM，

又∵∠ADC+∠BCD=90°，

∴∠BMC+∠BCM=90°，即△MBC为Rt△，

∴MC2=MB2+BC2，

∵以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，

∴△AED∽△ANB，△ANB∽△BFC，

=， =，

即AD2=，BC2=，

∴MC2=MB2+BC2=AD2+BC2=+=，

∵S1+S3=4S2，

∴MC2=4AB2，MC=2AB，

CD=DM+MC=AB+2AB=3AB．

故选：B．

【点评】此题涉及到相似三角形的判定与*质，勾股定理，等腰直角三角形等知识点，解答此题的关键是过点B作BM∥AD，此题的突破点是利用相似三角形的*质求得MC=2AB，此题有一定的拔高难度，属于难题．

知识点：勾股定理

题型：选择题