已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，点E是SC上的一点。（Ⅰ）求*：平面EBD平面...
问题详情：
已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA
底面ABCD，点E是SC上的一点。
（Ⅰ）求*：平面EBD
平面SAC；
（Ⅱ）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；
（Ⅲ）当SA=AB时，求二面角B-SC-D的大小。
【回答】
解法一：
*（Ⅰ）：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC,
∵ SA
底面ABCD，BDÌ面ABCD，∴SA
BD，
∵SAÇAC=A，∴BD^面SAC，
又∵BDÌ面EBD，∴平面EBD
平面SAC
解（Ⅱ）：由 （Ⅰ）知，BD^面SAC，
又∵BDÌ面SBD，∴平面SBD平面SAC，
设ACÇBD=O，则平面SBDÇ平面SAC=SO，
过A作AF^SO交SO于点F,则AF^面SBD，
所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距离。
∵ABCD是正方形，AB=2，∴AO=
，
又∵SA=4，△SAO是Rt△，∴SO=
，
∵SO×AF=SA×AO，∴AF=
，
∴点A到平面SBD的距离为
解（Ⅲ）：作BM⊥SC于M，连结DM，
∵SA底面ABCD，AB=AD，∴SB=SD，
又∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CB⊥SB，CD⊥SD，
∴△SBC≌△SDC，∴DM⊥SC，
∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，BM=DM.
在正方形ABCD中，设AB=a，则AC=BD=
a,
∵AB=SA，∴SB=a，SC=
a,
∵BM×SC=SB×BC, ∴BM=
a.
∴cos∠BMD=
，
∴二面角B-SC-D的大小为120
。
解法二：
*（Ⅰ）同解法一。
∵ABCD是正方形，SA底面ABCD，
∴SA⊥AB，SA⊥AD，AB⊥AD，
如图，建立直解坐标系A-xyz。
（Ⅱ）A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），S（0，0，4），
设平面SBD的法向量为
，则
⊥
，
⊥
，
∴
，
，而
=（2，0，-4），
=（0，2，-4）
∴
，
∴x=2,y=2,即
，则点A到平面SBD的距离d=
=
（Ⅲ）设SA=AB=a，则A（0，0，0），B（a，0，0），C(a,a,0),D（0，a，0），S（0，0，a）；设平面SBC的法向量
=(x1,y1,-1),平面SDC的法向量
=（x2,y2,1）
则
,而
=（0，a,0）,
=(-a,0,0),
=(a,a,-a)
∴
,∴x1=-1,y1=0，x2=0,y2=1
∴
=(-1,0,-1),
=(0, 1,1), ∴cos<,>=
=
,
∴二面角B-SC-D的大小为120
。
知识点：空间几何体
题型：计算题
