如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线经过点A，点C，且交x轴于另一点B． （1）直接写出点A，点B...
问题详情：
如图，直线
交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线
经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）在直线
上方的抛物线上有一点M，求四边形
面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）将线段
绕x轴上的动点
顺时针旋转90°得到线段
，若线段
与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．
【回答】
（1）A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），抛物线的解析式是
；（2）四边形
面积的最大值为8，点M的坐标为（2，2）；（3）
或
．
【解析】（1）对直线
，分别令x=0，y=0求出相应的y，x的值即得点A、C的坐标，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，利用抛物线的对称*即可求出点B的坐标；
（2）过点M作ME⊥x轴于点E，交直线AC于点F，如图1所示．设点M的横坐标为m，则MF的长可用含m的代数式表示，然后根据S四边形ABCM=S△ABC+S△AMC即可得出S四边形ABCM关于m的函数关系式，再利用二次函数的*质即可求出四边形
面积的最大值及点M的坐标；
（3）当m＞0时，分旋转后点
与点
落在抛物线上时，分别画出图形如图2、图3，分别用m的代数式表示出点
与点
的坐标，然后代入抛物线的解析式即可求出m的值，进而可得m的范围；当m＜0时，用同样的方法可再求出m的一个范围，从而可得结果．
【详解】
解：（1）对直线
，当x=0时，y=2，当y=0时，x=4，
∴点A的坐标是（0，2），点C的坐标是（4，0），
把点A、C两点的坐标代入抛物线的解析式，得：
，解得：
，
∴抛物线的解析式为
，
∵抛物线的对称轴是直线
，C（4，0），
∴点B的坐标为（﹣2，0）；
∴A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），抛物线的解析式是
；
（2）过点M作ME⊥x轴于点E，交直线AC于点F，如图1所示．
设M（m，
），则F（m，
），
∴
，
∴S四边形ABCM=S△ABC+S△AMC
=
，
∵0＜m＜4，
∴当m=2时，四边形
面积最大，最大值为8，此时点M的坐标为（2，2）；
（3）若m＞0，当旋转后点
落在抛物线上时，如图2，线段
与抛物线只有一个公共点，
∵点
的坐标是（m+2，m），
∴
，解得：
或
（舍去）；
当旋转后点
落在抛物线上时，如图3，线段
与抛物线只有一个公共点，
∵点
的坐标是（m，m），
∴
，解得：m=2或m=﹣4（舍去）；
∴当m＞0时，若线段
与抛物线只有一个公共点，m的取值范围是：
；
若m＜0，当旋转后点
落在抛物线上时，如图4，线段
与抛物线只有一个公共点，
∵点
的坐标是（m，m），
∴
，解得：m=﹣4或m=2（舍去）；
当旋转后点
落在抛物线上时，如图5，线段
与抛物线只有一个公共点，
∵点
的坐标是（m+2，m），
∴
，解得： 
或
（舍去）；
∴当m＜0时，若线段
与抛物线只有一个公共点，m的取值范围是：
；
综上，若线段
与抛物线只有一个公共点，m的取值范围是：
或
．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、旋转的*质、一元二次方程的解法、二次函数的图象与*质以及抛物线上点的坐标特点等知识，具有较强的综合*，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的图象与*质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．
知识点：二次函数与一元二次方程
题型：解答题
