已知F是抛物线y2=4x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA⊥OB(其中O为坐标原点),则△AO...
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已知F是抛物线y2=4x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA⊥OB(其中O为坐标原点),则△AOB与△AOF面积之和的最小值是( )
A.16 B.8 C.8 D.18
【回答】
C【考点】抛物线的简单*质.
【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、*质与方程.
【分析】先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再利用韦达定理及•=0,消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题.
【解答】解:设直线AB的方程为:x=ty+m,
点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴的交点为M(m,0),
x=ty+m代入y2=4x,可得y2﹣4ty﹣4m=0,
根据韦达定理有y1•y2=﹣4m,
∵OA⊥OB,
∴•=0,
∴x1•x2+y1•y2=0,从而(y1•y2)2+y1•y2=0,
∵点A,B位于x轴的两侧,
∴y1•y2=﹣16,故m=4.
不妨令点A在x轴上方,则y1>0,
又F(1,0),
∴S△ABO+S△AFO=×4×(y1﹣y2)+×y1=y1+
≥8,
当且仅当y1=,即y1=时,取“=”号,
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是8,
故选:C.
【点评】求解本题时,应考虑以下几个要点:
联立直线与抛物线的方程,消x或y后建立一元二次方程,利用韦达定理与已知条件消元,这是处理此类问题的常见模式.
求三角形面积时,为使面积的表达式简单,常根据图形的特征选择适当的底与高.
利用基本不等式时,应注意“一正,二定,三相等”.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:选择题