对于四面体A﹣BCD，有以下命题：①若AB=AC=AD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等；②若AB⊥CD，...

问题详情：

对于四面体A﹣BCD，有以下命题：①若AB=AC=AD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等；②若AB⊥CD，AC⊥BD，则点A在底面BCD内的*影是△BCD的内心；③四面体A﹣BCD的四个面中最多有四个直角三角形；④若四面体A﹣BCD的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为．其中正确的命题是（　　）

A．①③      B．③④       C．①②③  D．①③④

【回答】

D【考点】2K：命题的真假判断与应用．

【分析】对于①，根据线面角的定义即可判断；

对于②，根据三垂线定理的逆定理可知，O是△BCD的垂心，

对于③在正方体中，找出满足题意的四面体，即可得到直角三角形的个数，

对于④作出正四面体的图形，球的球心位置，说明OE是内切球的半径，利用直角三角形，逐步求出内切球的表面积．

【解答】解：对于①，因为AB=AC=AD，设点A在平面BCD内的*影是O，因为sin∠ABO=，sin∠ACO=，sin∠ADO=，所以sin∠ABO=sin∠ACO=sin∠ADO，

则AB，AC，AD与底面所成的角相等；故①正确；

对于②设点A在平面BCD内的*影是O，则OB是AB在平面BCD内的*影，因为AB⊥CD，根据三垂线定理的逆定理可知：CD⊥OB 同理可*BD⊥OC，所以O是△BCD的垂心，故②不正确；

对于③：如图：直接三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是4．故③正确

对于④，如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，正四面体的棱长为：1；

所以OE为内切球的半径，BF=AF=，BE=，

所以AE==，

因为BO2﹣OE2=BE2，

所以（﹣OE）2﹣OE2=（）2，

所以OE=，

所以球的表面积为：4π•OE2=，故④正确．

故选D．

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，综合考查了线面、面面垂直的判断与*质，考查了学生的空间想象能力，是中档题．

知识点：解三角形

题型：选择题