如图,已知△ABC中,AB=AC=1,∠ABC=∠ACB=60°,点D是△ABC外一点,且BD=DC,∠DBC...
来源:语文精选馆 2.31W
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如图,已知△ABC中,AB=AC=1,∠ABC=∠ACB=60°,点D是△ABC外一点,且BD=DC,∠DBC=∠DCB=30°,又点M、N分别在AB、AC上,∠MDN=60°,小明为探求△AMN的周长,在AC的延长线上截取了CP=BM,并连接DP, (1)试说明:MN=NP; (2)求出△AMN的周长.
【回答】
(1)∵∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=∠DCB=30°, ∴∠ABD=∠ACD=90°, 在△MBD和△PCD中,MB=PC,∠ABD=∠ACD,BD=CD, ∴△MBD≌△PCD(SAS), ∴MD=PD,∠MDB=∠PDC, 又∵∠DBC=∠DCB=30°,∴∠BDC=120°, ∴∠MDB+∠MDC=120°, ∴∠PDC+∠MDC=120°,即∠PDM=120°, 又∵∠MDN=60°,∴∠PDN=60°, ∴∠MDN=∠PDN=60°, 在△MDN和△PDN中,MD=PD,∠MDN=∠PDN,DN=DN, ∴△MDN≌△PDN(SAS),∴MN=NP; (2)△AMN的周长:
AM+MN+AN=AM+NP+AN=AM+AP=AM+AC+CP=AM+AC+BM=AB+AC=1+1=2; ∴△AMN的周长为2.
知识点:三角形全等的判定
题型:解答题