设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调*;(2)...
来源:语文精选馆 2.22W
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设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调*;
(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.
【回答】
解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),
f′(x)=1+a-2x-3x2.
令f′(x)=0,得x1=,x2=,
x1<x2.
所以f′(x)=-3(x-x1)(x-x2).
当x<x1或x>x2时,f′(x)<0;
当x1<x<x2时,f′(x)>0.
故f(x)在(-∞,)和(,+∞)内单调递减,在(,)内单调递增.
(2)因为a>0,所以x1<0,x2>0.
①当a≥4时,x2≥1.
由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增.
所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.
②当0<a<4时,x2<1.
由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减.
所以f(x)在x=x2=处取得最大值.
又f(0)=1,f(1)=a,所以
当0<a<1时,f(x)在x=1处取得最小值;
当a=1时,f(x)在x=0处和x=1处同时取得最小值;
当1<a<4时,f(x)在x=0处取得最小值.
知识点:导数及其应用
题型:解答题