设f(x)=lnx+ax(a∈R且a≠0).(1)讨论函数f(x)的单调*;(2)若a=1,*:x∈[1,2...
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问题详情:
设f(x)=ln x+ax(a∈R且a≠0).
(1)讨论函数f(x)的单调*;
(2)若a=1,*:x∈[1,2]时,f(x)-3<成立.
【回答】
【解】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+a,
当a>0时,f′(x)>0,∴函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.
当a<0时,f′(x)=,
由f′(x)>0得0<x<-;由f′(x)<0得,x>-.
∴函数f(x)在(0,-)上是增函数;在(-,+∞)上是减函数.
(2)*:当a=1时,f(x)=ln x+x,
要*x∈[1,2]时,f(x)-3<成立,
只需*xln x+x2-3x-1<0在x∈[1,2]时恒成立.
令g(x)=xln x+x2-3x-1,则g′(x)=ln x+2x-2,
设h(x)=ln x+2x-2,则h′(x)=+2>0,∴h(x)在[1,2]上单调递增,
∴g′(1)≤g′(x)≤g′(2),
即0≤g′(x)≤ln 2+2,∴g(x)在[1,2]上单调递增,∴g(x)≤g(2)=2ln 2-3<0,
∴当x∈[1,2]时,xln x+x2-3x-1<0恒成立,即原命题得*.
知识点:导数及其应用
题型:解答题