已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单...
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问题详情：
已知函数f(x)＝
x2－alnx(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求*：当x>1时，
x2＋lnx<
x3.
【回答】
解：(1)f′(x)＝x－
，因为x＝2是
一个极值点，
所以2－
＝0.所以a＝4.
此时f′(x)＝x－
＝
因为f(x)的定义域是{x|x>0}，
所以当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.
所以当a＝4时，x＝2是f(x)的极小值点．所以a＝4.
(2)因为f′(x)＝x－
，
所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
当a>0时，f′(x)＝x－＝
令f′(x)>0有x>
，
所以函数f(x)的单调递增区间为(
，＋∞)；
令f′(x)<0有0<x<
，
所以函数f(x)的单调递减区间为(0，)．
(3)*：设g(x)＝
x3－
x2－lnx，
则g′(x)＝2x2－x－
，
因为当x>1时，g′(x)＝
>0，
所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数．
所以g(x)>g(1)＝
>0.
所以当x>1时，
x2＋lnx<x3.
知识点：基本初等函数I
题型：解答题
