已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距...
问题详情：
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．
（1）求椭圆的标准方程以及m的取值范围；
（2）求*直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．
【回答】
【考点】K4：椭圆的简单*质．
【分析】（1）根据题意，将M点代入即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程，求得直线l的方程，代入椭圆方程，由△＞0即可求得m的取值范围；
（2）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需*k1+k2=0即可，根据直线的斜率公式及韦达定理即可求得*．
【解答】解：（1）设椭圆方程为
（a＞b＞0），且a=2b，
椭圆经过点M（2，1），则
，解得：a=2
，b=
，
∴椭圆方程
；…
∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m 又kOM=
，
∴l的方程为：y=
x+m，
由
，整理得：x2+2mx+2m2﹣4=0，…
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，△=（2m）2﹣4（2m2﹣4）＞0，解得：﹣2＜m＜0或0＜m＜2，
∴m的取值范围是（﹣2，0）∪（0，2）；…
（2）*：设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，
要*直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．只需*k1+k2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），l的方程为：y=x+m，则k1=
，k2=
．
由
，整理得：x2+2mx+2m2﹣4=0
∴x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4，
而k1+k2=
+
=
，
其分子=（
x1+m﹣1）（x2﹣2）+（
x2+m﹣1）（x1﹣2）
=x1x2+（m﹣2）（x1+x2）﹣4（m﹣1）=2m2﹣4﹣2m（m﹣2）﹣4m+4=0，
∴k1+k2=0．
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
