在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足ab+a2=c2.(1)求*:C=2A;(2)若△...

问题详情：

 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足ab+a2=c2.

(1)求*:C=2A;

(2)若△ABC的面积为a2sin2B,求角C的大小.

【回答】

解(1)在△ABC中,根据余弦定理,c2=a2+b2-2abcosC,

又因为ab+a2=c2,所以ab=b2-2abcosC.

因为b>0,所以b-a=2acosC.

根据正弦定理,sinB-sinA=2sinAcosC.

因为A+B+C=π,即A+C=π-B,

则sinB=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinA=sinCcosA-sinAcosC.

即sinA=sin(C-A).

因为A,C∈(0,π),则C-A∈(-π,π),

所以C-A=A,或C-A=π-A(舍去后者).

所以C=2A.

(2)因为△ABC的面积为a2sin2B,所以a2sin2B=acsinB,

因为a>0,sinB>0,所以c=2asinB,

则sinC=2sinAsinB.

因为C=2A,所以2sinAcosA=2sinAsinB,

所以sinB=cosA.

因为A∈0,,

所以cosA=sin-A,

即sinB=sin-A,

所以B=-A或B=+A.

当B=-A,即A+B=时,C=;

当B=+A时,由π-3A=+A,解得A=,则C=

综上,C=或C=

知识点：解三角形

题型：解答题