现有一质地均匀密度为ρ0的实心圆柱体，底面积为S0、高为h0，将其中间挖去底面积为的小圆柱体，使其成为空心管，...

问题详情：

现有一质地均匀密度为 ρ0的实心圆柱体，底面积为S0、高为h0，将其中间挖去底面积为的小圆柱体，使其成为空心管，如图1所示．先用硬塑料片将空心管底端管口密封（硬塑料片的体积和质量均不计），再将其底端向下竖直放在底面积为S的柱形平底容器底部，如图2所示．然后沿容器内壁缓慢注入密度为ρ的液体，在注入液体的过程中空心管始终保持竖直状态．

（1）当注入一定量的液体时，空心管对容器底的压力刚好为零，且空心管尚有部分露在液面外，求此时容器中液体的深度．

（2）去掉塑料片后，空心管仍竖直立在容器底部，管外液体可以进入管内，继续向容器中注入该液体．若使空心管对容器底的压力最小，注入液体的总质量最小是多少？

【回答】

解：（1）空心管对容器底的压力刚好为零，此时空心管处于漂浮状态，浮力等于重力，

设注入液体的深度为h1，

浮力F浮=ρgS0h1，

空心管的重力G=mg=ρ0gh0（S0﹣），

即ρgS0h1=ρ0gh0（S0﹣），

解得液体的深度h1=；

（2）若管的密度大于液体的密度，设液体深度为h2，若使空心管对容器底的压力最小，即浮力最大，此时空心管应恰好完全浸没，即液体的深度等于管的高度，h2=h0，所以液体的质量m2=ρ（S﹣）h0=ρh0（2S﹣S0）；

若管的密度小于液体的密度，设液体深度为h3，若使空心管对容器底的压力最小，此时空心管处于漂浮状态，浮力等于其重力，

浮力F浮=ρgS0h3，

空心管的重力G=mg=ρ0gh0（S0﹣），

即ρgS0h3=ρ0gh0（S0﹣），

解得液体的深度h3=，

液体的质量m3=ρ（S﹣）=ρ0h0（2S﹣S0）．

答：（1）此时容器中液体的深度；

（2）若管的密度大于液体的密度，注入液体的总质量最小是ρh0（2S﹣S0）；

若管的密度小于液体的密度，注入液体的总质量最小是ρ0h0（2S﹣S0）．

知识点：压强和浮力单元测试

题型：计算题