如图1，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于...

问题详情：

如图1，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．

（1）*：DM=DA；

（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图2，求*：△DEG∽△ECF；

（3）在图2中，取CE上一点H，使得∠CFH=∠B，若BG=5，求EH的长．

【回答】

【考点】S9：相似三角形的判定与*质；KD：全等三角形的判定与*质；KX：三角形中位线定理．

【分析】（1）*∠A=∠DMA，用等角对等边即可*结论；

（2）由D、E分别是AB、BC的中点，可知DE∥AC，于是∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，又∠A=∠AFE，∠AFE=∠C+∠FEC，根据等式*质得∠FEC=∠GDE，根据有两对对应角相等的两三角形相似可*；

（3）通过*△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BG•BE=EH•EC，又BE=EC，所以EH=BG=5．

【解答】（1）*：如图1所示，

∵DM∥EF，

∴∠AMD=∠AFE，

∵∠AFE=∠A，

∴∠AMD=∠A，

∴DM=DA；

（2）*：如图2所示，

∵D、E分别是AB、BC的中点，

∴DE∥AC，

∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，

∵∠AFE=∠A，

∴∠BDE=∠AFE，

∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，

∵∠BDG=∠C，

∴∠GDE=∠FEC，

∴△DEG∽△ECF；

（3）解：如图3所示，

∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，

∴△BDG∽△BED，

∴=，

∴BD2=BG•BE，

∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，

∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH，

又∵∠FEH=∠CEF，

∴△EFH∽△ECF，

∴=，

∴EF2=EH•EC，

∵DE∥AC，DM∥EF，

∴四边形DEFM是平行四边形，

∴EF=DM=DA=BD，

∴BG•BE=EH•EC，

∵BE=EC，

∴EH=BG=5．

知识点：相似三角形

题型：解答题