【问题发现】      如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，若B，D，E在同一直线上，连接AE．（1）请...

问题详情：

【问题发现】

       如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，若B，D，E在同一直线上，连接AE．

（1）请你在图中找出一个与△AEC全等的三角形：　　；

（2）∠AEB的度数为　　；CE，AE，BE的数量关系为　　．

【拓展探究】

        如图2，△ACB是等腰直角三角形，∠AEB=90°，连接CE，过点C作CD⊥CE，交BE于点D，试探究CE，AE，BE的数量关系，并说明理由．

【解决问题】

        如图3，在正方形ABCD中，CD=5，点P为正方形ABCD外一点，∠APC=90°，且AP=6，试求点P到CD的距离．

【回答】

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】【问题发现】（1）根据等边三角形的*质、全等三角形的判定定理*△AEC≌△BDC；

（2）根据△AEC≌△BDC，得到∠AEC=∠CDB=120°，计算即可；

【拓展探究】*△AEC≌△BDC，得到△ECD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的*质计算；

【解决问题】分点P在AD上方、点P在AB的左侧两种情况，根据相似三角形的*质计算．

【解答】解：【问题发现】（1）△AEC≌△BDC，

*：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，

∴∠ECD=∠ACB=60°，

∴∠ECA=∠DCB，

在△AEC和△BDC中，

，

∴△AEC≌△BDC，

故*为：△BDC；

（2）∠CDB=180°﹣∠CDE=120°，

∵△AEC≌△BDC，

∴∠AEC=∠CDB=120°，AE=BD，

∴∠AEB=60°，

BE=DE+BD=CE+AE；

故*为：60°；CE+AE=BE；

【拓展探究】∵CD⊥CE，∠ACB=90°，

∴∠ECA=∠DCB，

∵∠AEB=90°，∠ACB=90°，

∴A、E、C、B四点共圆，

∴∠EAC=∠DBC，

在△AEC和△BDC中，

，

∴△AEC≌△BDC，

∴AE=BD，CE=CD，

∴△ECD是等腰直角三角形，

∴ED=CE，

∴BE=DE+BD=CE+AE；

【解决问题】当点P在AD上方时，连接AC、PD，作PH⊥CD交AD的延长线于H，

∵AD=5，

∴AC=10，

则PC==8，

由拓展探究可知，PD==，

∵PH∥AD，

∴∠DPH=∠ADP，

∴∠DPH=∠ACP，

∴PH=PD×=；

当点P在AB的左侧时，同理PH=．

知识点：勾股定理

题型：综合题