已知二次函数的最小值为－4，且关于x的不等的解集为．(1)求函数的解析式；(2)求函数的零点个数．

问题详情：

已知二次函数的最小值为－4，且关于x的不等的解集为．

(1)求函数的解析式；

(2)求函数的零点个数．

【回答】

解　(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，

∴f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.

故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.          (2)∵g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2(x>0)，

∴g′(x)＝1＋－＝.令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.    当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：

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当0<x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4<0.又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞)上只有1个零点.               

知识点：函数的应用

题型：解答题