已知函数.（1）当时，*不等式；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

问题详情：

已知函数.

（1）当时，*不等式；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

【回答】

（1）*见详解；（2）

【分析】

（1）将代入，求出，记，利用导数判断函数的单调*，求出函数的最大值，即可.

（2）将不等式转化为在恒成立，构造函数，根据单调*可得，只需恒成立，记，利用导数求出即可.

【详解】

（1）当时，，函数的定义域为

所以，

记，

所以，

当时，，单调递减，

又因为，，

所以存在，使得，

所以当时，，即，

当时，，即，

所以，

又因为，

所以，

即，所以，即*.

（2）不等式恒成立等价于在恒成立，

即在恒成立，

也就是在恒成立，

构造函数，，

所以在单调递增，

所以，

即，

记，

所以，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，

所以，故实数的取值范围.

【点睛】

本题考查了利用导数*不等式、利用导数研究不等式恒成立，考查了转化与划归的思想，属于难题.

知识点：导数及其应用

题型：解答题