在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,2),动点P在y=x的图象上运动(不与O重合),连接AP.过点P作PQ⊥...
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在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,2),动点P在y=x的图象上运动(不与O重合),连接AP.过点P作PQ⊥AP,交x轴于点Q,连接AQ. (1)求线段AP长度的取值范围; (2)试问:点P运动的过程中,∠QAP是否为定值?如果是,求出该值;如果不是,请说明理由. (3)当△OPQ为等腰三角形时,求点Q的坐标.
【回答】
解:(1)由y=x知:∠POQ=30°, 当AP⊥OP时,AP取得最小值=OA•sin∠AOP=2sin60°=; (2)过点P作PH⊥x轴于点H、交过点A平行于x轴的直线与点G, ∴∠APQ=90°,∴∠AGP+∠APG=90°,∠APG+∠QPH=90°, ∴∠QPH=∠PAG,∴△PAG∽△QPH, ∴tan∠PAQ====, 则∠QAP=30°; (3)设:OQ=m,则AQ2=m2+4=4PQ2, ①当OQ=PQ时, 即PQ=OQ=m, 则m2+4=4m2,解得:m=; ②当PO=OQ时, 同理可得:m=±(4+4); ③当PQ=OP时, 同理可得:m=; 故点Q的坐标为(,0)或(-,0)或(4+4,0)或(-4-4,0)或(2,0)或(-2,0). 【解析】
(1)由y=x知:∠POQ=30°,当AP⊥OP时,AP取得最小值,即可求解; (2)利用△PAG∽△QPH得:tan∠PAQ====,即可求解; (3)分OQ=PQ、PO=OQ、PQ=OP三种情况,分别求解即可. 本题为一次函数综合题,涉及到三角形相似、等腰三角形*质,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏.
知识点:各地中考
题型:解答题