（1）知识再现如图（1）：若点A，B在直线l同侧，A，B到l的距离分别是3和2，AB=4．现在直线l上找一点P...

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（1）知识再现

如图（1）：若点A，B在直线l同侧，A，B到l的距离分别是3和2，AB=4．现在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：

作点A关于直线L的对称点A′，连接BA′，与直线l的交点就是所求的点P，线段BA′的长度即为AP+BP的最小值．请你求出这个最小值．

（2）实践应用

①如图（2），⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是　2　；

②如图（3），Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA+PC的最小值为　　．

③如图（4），菱形ABCD中AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为　　．

④如图（5），在R△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是　3+　．

（3）拓展延伸

如图（6），在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．

【回答】

【分析】（1）如图1中，作BM⊥AA′于M，连接AB，在RT△ABM中利用勾股定理求出BM2，再在RT△BMA′中利用勾股定理即可解决问题．

（2）①如图2中，延长AO交⊙O于H，连接CH交OB于点P，此时PA+PC最小，利用勾股定理计算即可．

②如图3中，在y轴上取一点C′使得OC′=0C=1，连接AC′交OB于点P，此时PC+PA最小，最小值=AC′，利用勾股定理计算即可．

③如图4中，当KP⊥BC，KQ⊥CD时，KP+KQ最小，利用BDCO=BCKP+CDKQ，即可解决问题．

④如图5中，因为E、C关于AD对称，所以当点P与点D重合时，△PEB周长最小，利用勾股定理计算即可．

（3）作点B关于AC的对称点B′，连接DB′并延长交AC于点P，此时∠APB=∠DPA．

【解答】解：（1）如图1中，作BM⊥AA′于M，连接AB．

在RT△BMA中，∵∠BMA=90°，AB=4，AM=1，

∴BM2=AB2﹣AM2=15，

在RT△BMA′中，∵∠BMA′=90°，MA′=5，

∴BA′===2．

（2）①如图2中，延长AO交⊙O于H，连接CH交OB于点P，此时PA+PC最小，

∵OA=OH，PO⊥AH，

∴PA=PH，

∴PA+PC=PH+PC=HC，

∵AH是直径，

∴∠ACH=90°，∵∠AOC=60°，OA=OC，

∴△AOC是等边三角形，

∴∠HAC=60°，

在RT△ACH中，∵∠AHC=30°，AC=2，

∴AH=4，CH==2．

故*为2．

②如图3中，在y轴上取一点C′使得OC′=0C=1，连接AC′交OB于点P，此时PC+PA最小，最小值=AC′，

在RT△AOC′中，∵∠AOC′=90°，OC′=1，AO=3，

∴AC′===．

故*为．

③如图4中，当KP⊥BC，KQ⊥CD时，KP+KQ最小，

连接AC交BD于点O，由题意： BDCO=BCKP+CDKQ，

∴KP+KQ=，

故*为．

④如图5中，

∵E、C关于AD对称，

∴当点P与点D重合时，△PEB周长最小，

在RT△DEB中，∵∠DEB=90°，DE=CD=，∠DBE=60°，

∴BD=2EB，设EB=x，则BD=2x，

∴（2x）2=x2+（）2，

∴x=±1，

∵x＞0，

∴x=1，

∴EB=1，DB=2，

∴△PEB周长最小值=3+．

故*为3+．

（3）作点B关于AC的对称点B′，连接DB′并延长交AC于点P，此时∠APB=∠DPA．

【点评】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，灵活运用两点之间线段最短解决问题，所以中考常考题型．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：综合题