如图T8-8,以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O交斜边AC于点D,过圆心O作OE∥AC,交BC于点E,连接...
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如图T8-8,以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O交斜边AC于点D,过圆心O作OE∥AC,交BC于点E,连接DE.
图T8-8
(1)判断DE与☉O的位置关系并说明理由;
(2)求*:2DE2=CD·OE;
(3)若tanC=
,DE=
,求AD的长.
【回答】
.解:(1)DE与☉O的位置关系是相切.
理由:连接OD.
∵OE∥AC,∴∠BOE=∠A,∠DOE=∠ADO,
∵OA=OD,∴∠ADO=∠A,
∴∠BOE=∠DOE,
∵OB=OD,OE=OE,∴△BOE≌△DOE,
∴∠OBE=∠ODE=90°,
∴OD⊥DE,∴DE是☉O的切线.
(2)*:连接BD交OE于F.
∵OE∥AC,
∴
=
=
.
∵OA=OB,
∴BF=DF,BE=CE,
∴EF=
CD.
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,
∵OE∥AC,∴∠OFB=∠ADB=90°,
∴∠OBE=∠BFE,
∵∠BEO=∠BEF,∴△BEF∽△OEB,
∴
=
,∴BE2=EF·OE=
CD·OE.
∵AB为直径,AB⊥BE,
∴BE是☉O的切线,由(1)得DE也是☉O的切线,
∴BE=DE,∴DE2=
CD·OE,
∴2DE2=CD·OE.
(3)由(2)得∠BDC=90°,BE=CE,∴DE=
BC,
∵DE=
,∴BC=5.
在Rt△ABC中,tanC=
=
,
∴AB=
,∴AC=
=
.
∵∠ABC=∠ADB=90°,∠A=∠A,
∴△ADB∽△ABC,
∴
=
,∴AB2=AD·AC,
∴AD=
2÷
=
.
知识点：点和圆、直线和圆的位置关系
题型：解答题
