已知函数，其导函数的最大值为.（1）求实数的值；（2）若，*：.
来源：语文精选馆 3.12W
问题详情：
已知函数
，其导函数
的最大值为
.
（1）求实数
的值；
（2）若
，*：
.
【回答】
【详解】（1）由题意，函数
的定义域为
，其导函数
记
则
.
当
时，
恒成立，所以
在
上单调递增，且
.
所以
，有
，故
时不成立；
当
时，若
，则
；若
，则
.
所以
在
单调递增，在
单调递减。
所以
.
令
，则
.
当
时，
；当
时，
.所以
在
的单减，在
单增.
所以
，故
.
（2）当
时，
，则
.
由（1）知
恒成立，
所以在上单调递减，
且
，
不妨设
，则
，
欲*
，只需*
，因为在上单调递减，
则只需*
，又因为
，
则只需*
，即
.
令
（其中
），且
.
所以欲*
，只需*
，
由
，
整理得：
，
，
所以
在区间
上单调递增，
所以
，
，
所以函数
在区间上单调递减，
所以有
，，故
.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值问题，涉及分类讨论的数学思想，构造函数解决极值点偏移问题，题目较综合，属于难题.
知识点：导数及其应用
题型：解答题
