在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若...

问题详情：

在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．

（1）已知点A的坐标为（1，0），

①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；

②点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；

（2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．

【回答】

解：（1）①∵A（1，0），B（3，1）

由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1，

∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1＝2；

②由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，

又∵点A，C的“相关矩形”为正方形

∴直线AC与x轴的夹角为45°，

设直线AC的解析为：y＝x＋m或y＝－x＋n

把（1，0）分别y＝x＋m，

∴m＝－1，

∴直线AC的解析为：y＝x－1，

把（1，0）代入y＝－x＋n，

∴n＝1，

∴y＝－x＋1，

综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为y＝x－1或y＝－x＋1；

（2）设直线MN的解析式为y＝kx＋b，

∵点M，N的“相关矩形”为正方形，

∴由定义可知：直线MN与x轴的夹角为45°，

∴k＝±1，

∵点N在⊙O上，

∴当直线MN与⊙O有交点时，点M，N的“相关矩形”为正方形，

当k＝1时，

作⊙O的切线AD和BC，且与直线MN平行，

其中A、C为⊙O的切点，直线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B，

连接OA，OC，

把M（m，3）代入y＝x＋b，

∴b＝3－m，

∴直线MN的解析式为：y＝x＋3－m

∵∠ADO＝45°，∠OAD＝90°，

∴OD＝OA＝2，

∴D（0，2）

同理可得：B（0，－2），

∴令x＝0代入y＝x＋3－m，

∴y＝3－m，

∴－2≤3－m≤2，

∴1≤m≤5，

当k＝－1时，把M（m，3）代入y＝－x＋b，

∴b＝3＋m，

∴直线MN的解析式为：y＝x＋3＋m，

同理可得：－2≤3＋m≤2，

∴－5≤m≤－1；

综上所述，当点M，N的“相关矩形”为正方形时，m的取值范围是：1≤m≤5或－5≤m≤－1

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：综合题