如图,点A,B,C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5(其中﹣<a<0)上,AB∥x轴,∠ABC=...
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如图,点A,B,C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5(其中﹣<a<0)上,AB∥x轴,∠ABC=135°,且AB=4.
(1)填空:抛物线的顶点坐标为 (用含m的代数式表示);
(2)求△ABC的面积(用含a的代数式表示);
(3)若△ABC的面积为2,当2m﹣5≤x≤2m﹣2时,y的最大值为2,求m的值.
【回答】
解:(1)∵y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5=a(x﹣m)2+2m﹣5,∴抛物线的顶点坐标为(m,2m﹣5).
故*为:(m,2m﹣5).
(2)过点C作直线AB的垂线,交线段AB的延长线于点D,如图所示.
∵AB∥x轴,且AB=4,∴点B的坐标为(m+2,4a+2m﹣5).
∵∠ABC=135°,∴设BD=t,则CD=t,∴点C的坐标为(m+2+t,4a+2m﹣5﹣t).
∵点C在抛物线y=a(x﹣m)2+2m﹣5上,∴4a+2m﹣5﹣t=a(2+t)2+2m﹣5,整理,得:at2+(4a+1)t=0,解得:t1=0(舍去),t2=﹣,∴S△ABC=AB•CD=﹣.
(3)∵△ABC的面积为2,∴﹣ =2,解得:a=﹣,∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣m)2+2m﹣5.
分三种情况考虑:
①当m>2m﹣2,即m<2时,有﹣(2m﹣2﹣m)2+2m﹣5=2,整理,得:m2﹣14m+39=0,解得:m1=7﹣(舍去),m2=7+(舍去);
②当2m﹣5≤m≤2m﹣2,即2≤m≤5时,有2m﹣5=2,解得:m=;
③当m<2m﹣5,即m>5时,有﹣(2m﹣5﹣m)2+2m﹣5=2,整理,得:m2﹣20m+60=0,解得:m3=10﹣2(舍去),m4=10+2.
综上所述:m的值为或10+2.
知识点:各地中考
题型:解答题