已知数列满足：，*：当时，（I）；（II）；（III）.
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问题详情：
已知数列
满足：
，
*：当
时，
（I）
；
（II）
；
（III）
.
【回答】
（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析.
【分析】
（I）用数学归纳法可*；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
， 构造函数
，利用函数的单调*可*；
（Ⅲ）由
及
，递推可得
.
【详解】
（Ⅰ）用数学归纳法*：
．
当
时，
．
假设
时，
，那么
时，若
，
则
，矛盾，故
．
因此
，所以
，因此
．
（Ⅱ）由
得，
．
记函数
，
，
函数
在
上单调递增，所以
，
因此
，故
．
（Ⅲ）因为
，所以
，
由
，得
，
所以
，故
．
综上，
．
【名师点睛】
本题主要考查利用数列不等式的*，常利用以下方法：（1）数学归纳法；（2）构造函数，利用函数的单调**不等式；（3）利用递推关系*．
知识点：导数及其应用
题型：解答题
