如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,E...
问题详情:
如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,E、F分别为PC、BD的中点.
(Ⅰ) 求*:EF∥平面PAD;
(Ⅱ) 求*:面PAB⊥平面PDC;
(Ⅲ) 在线段AB上是否存在点G,使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为?说明理由.
【回答】
【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法.
【专题】空间位置关系与距离;空间角.
【分析】(I)*:连接AC,则F是AC的中点,E为PC 的中点,*EF∥PA,留言在线与平面平行的判定定理*EF∥平面PAD;
(II)先*CD⊥PA,然后*PA⊥PD.利用直线与平面垂直的判定定理*PA⊥平面PCD,最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC.
(III)假设在线段AB上,存在点G,使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为,然后以O为原点,直线OA,OF,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设G(1,a,0)(0≤a≤2).利用空间向量的坐标运算求出a值,即可得出结论.
【解答】*:(Ⅰ)连结AC∩BD=F,
ABCD为正方形,F为AC中点,E为PC中点.
∴在△CPA中,EF∥PA…
且PA⊂平面PAD,EF⊄平面PAD∴EF∥平面PAD…
(Ⅱ)因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩面ABCD=AD
ABCD为正方形,CD⊥AD,CD⊂平面ABCD
所以CD⊥平面PAD.
∴CD⊥PA…
又PA=PD=AD,所以△PAD是等腰直角三角形,
且∠APD=90° 即PA⊥PD
CD∩PD=D,且CD、PD⊂面PDC
∴PA⊥面PDC
又PA⊂面PAB,
∴面PAB⊥面PDC.…..
(Ⅲ) 如图,取AD的中点O,连结OP,OF.
∵PA=PD,∴PO⊥AD.
∵侧面PAD⊥底面ABCD,
面PAD⊥面ABCD,
∴PO⊥面ABCD,
而O,F分别为AD,BD的中点,∴OF∥AB,
又ABCD是正方形,故OF⊥AD.
∵PA=PD=AD,∴PA⊥PD,OP=OA=1.
以O为原点,直线OA,OF,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则有A(1,0,0),F(0,1,0),D(﹣1,0,0),P(0,0,1).
若在AB上存在点G,使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为,
连结PG,DG
设G(1,a,0)(0≤a≤2).
由(Ⅱ)知平面PDC的法向量为=(1,0,﹣1).
设平面PGD的法向量为=(x,y,z).
∵=(1,0,1),=(﹣2,﹣a,0),
∴由, =0可得,令x=1,则y=﹣,z=﹣1,
故=(1,﹣,﹣1),
∴cos==,
解得,a=.
所以,在线段AB上存在点G(1,,0),使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为.…
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定的应用及二面角的平面角及求法,考查逻辑推理能力.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题