已知，．⑴求的解析式；⑵求时，的值域；⑶设，若对任意的，总有恒成立，求实数的取值范围.
来源：语文精选馆 2.5W
问题详情：
已知
，
．
⑴求
的解析式；
⑵求
时，
的值域；
⑶设
，若
对任意的
，总有
恒成立，求实数
的取值范围.
【回答】
(1)
（2）
（3）
【解析】
试题分析：(1)由题已知
，求
，可利用换元法，即：
，
，将条件中的
，换为
得：
，求出
（2）由（1）得
，可继续换元，
得：
，需对
进行分类讨论，而化为熟悉的二次函数的
值域问题解决.
（3）由
恒成立，可转化为
在
满足
，则需对
的单调*进行分析，由
，采用换元法
，得：
，由
，借助函数的单调*，对
进行分类讨论，分别得出
的取值范围，取各种情况的并集，得出结果.
试题解析：⑴设
，则
，所以
，
所以
；
⑵设
，则
当
时，
，
的值域为
当
时，
若
，
，
的值域为
若
，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
的值域为
综上，当
时
的值域为
，当
时
的值域为
；
⑶因为
对任意
总有
所以
在
满足
设
，则
，
当
即
时
在区间
单调递增
所以
，即
，所以
(舍)
当
时，
，不符合题意
当
时， 若
即
时，
在区间
单调递增
所以
，则
若
即
时
在
递增，在
递减
所以
，得
若
即
时
在区间
单调递减
所以
，即
，得
综上所述：
.
考点：1.换元法求函数解析式； 2.换元法与二次函数的值域问题及分类思想.
3. 恒成立中的函数思想及分类思想.
知识点：基本初等函数I
题型：解答题
