下列命题:如图,正方形ABCD中,E、F分别为AB、AD上的点,AF=BE,CE、BF交于H,BF交AC于M,...
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下列命题:如图,正方形ABCD中,E、F分别为AB、AD上的点,AF=BE,CE、BF交于H,BF交AC于M,O为AC的中点,OB交CE于N,连OH.下列结论中:①BF⊥CE;②OM=ON;③;④.其中正确的命题有( )
A.只有①② B.只有①②④ C.只有①④ D.①②③④
【回答】
B
【考点】正方形的*质;全等三角形的判定与*质;等腰三角形的判定与*质;直角三角形斜边上的中线.
【分析】①可*△ABF≌△BEC到△BEH∽△ABF,所以∠BAF=∠BHE=90°得*.
②由题意正方形中∠ABO=∠BCO,在上面所*∠BCE=∠ABF,由△OBM≌△ONC得到ON=OM即得*.
③利用AAS*三角形OCN全等于三角形OBM,所以BM=CN,只有H是BM的中点时,OH等于BM(CN)的一半,所以(3)错误.
过O点作OG垂直于OH,OG交CH于G点,由题意可*得三角形OGC与三角形OHB全等.
按照前述作辅助线之后,OHG是等腰直角三角形,OH乘以根2之后等于HG,则在**三角形OGC与三角形OHB全等之后,CG=BH,所以④式成立.
【解答】解:∵AF=BE,AB=BC,∠ABC=∠BAD=90°,
∴△ABF≌△BEC,
∴∠BCE=∠ABF,∠BFA=∠BEC,
∴△BEH∽△ABF,
∴∠BAF=∠BHE=90°,
即BF⊥EC,①正确;
∵四边形是正方形,
∴BO⊥AC,BO=OC,
由题意正方形中角ABO=角BCO,在上面所*∠BCE=∠ABF,
∴∠ECO=∠FBO,
∴△OBM≌△ONC,
∴ON=OM,
即②正确;
③∵△OBM≌△ONC,
∴BM=CN,
∵∠BOM=90°,
∴当H为BM中点时,OH=BM=CN(直角三角形斜边中线等于斜边的一半),
因此只有当H为BM的中点时,,故③错误;
④过O点作OG垂直于OH,OG交CH与G点,
在△OGC与△OHB中,
,
故△OGC≌△OHB,
∵OH⊥OG,
∴△OHG是等腰直角三角形,
按照前述作辅助线之后,OHG是等腰直角三角形,OH乘以根2之后等于HG,
则在**三角形OGC与三角形OHB全等之后,CG=BH,
所以④式成立.
综上所述,①②④正确.
故选B.
【点评】本题考查了正方形的*质,全等三角形的*以及直角三角形斜边中线的*质,比较综合,有一定难度.
知识点:特殊的平行四边形
题型:选择题