问题:如图(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,试判断BE、EF、F...
问题详情:
问题:如图(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,试判断BE、EF、FD之间的数量关系.
[发现*]
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图(1)*上述结论.
[类比引申]
如图(2),则四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足________关系时,仍有EF=BE+FD.
[探究应用]
如图(3),在某公园的同一水平面上,四条道路围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC、CD上分别有景点E、F,且AE⊥AD,米,现要有E、F之间修一条笔直道路,求这条道路EF的长(结果取整数,参考数据:≈1.41,≈1.73).
【回答】
如图(1),∵△ADG≌△ABE,
∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE,
又∵∠EAF=45°,即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°,
∴∠GAF=∠FAE,
在△GAF和△FAE中,
,
∴△AFG≌△AFE(SAS).
∴GF=EF.
又∵DG=BE,
∴GF=BE+DF,
∴BE+DF=EF.
【类比引申】∠BAD=2∠EAF.
理由如下:如图(2),延长CB至M,使BM=DF,连接AM,
∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠ABM=180°,
∴∠D=∠ABM,
在△ABM和△ADF中,
,
∴△ABM≌△ADF(SAS),
∴AF=AM,∠DAF=∠BAM,
∵∠BAD=2∠EAF,
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF,
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF,
在△FAE和△MAE中,
,
∴△FAE≌△MAE(SAS),
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF,
即EF=BE+DF.
故*是:∠BAD=2∠EAF.
【探究应用】如图3,把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG,连接AF.
∵∠BAD=150°,∠DAE=90°,
∴∠BAE=60°.
又∵∠B=60°,
∴△ABE是等边三角形,
∴BE=AB=80米.
根据旋转的*质得到:∠ADG=∠B=60°,
又∵∠ADF=120°,
∴∠GDF=180°,即点G在CD的延长线上.
易得,△ADG≌△ABE,
∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE,
又∵∠EAG=∠BAD=150°,
∴∠GAF=∠FAE,
在△GAF和△FAE中,
,
∴△AFG≌△AFE(SAS).
∴GF=EF.
又∵DG=BE,
∴GF=BE+DF,
∴EF=BE+DF=80+40(﹣1)≈109.2(米),即这条道路EF的长约为109.2米.
知识点:三角形全等的判定
题型:综合题