如图,在直角坐标系中有Rt△AOB,O为坐标原点,OB=1,tan∠ABO=3,将此三角形绕原点O顺时针旋转9...
问题详情:
如图,在直角坐标系中有Rt△AOB,O为坐标原点,OB=1,tan∠ABO=3,将此三角形绕原点O顺时针旋转90°,得到Rt△COD,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象刚好经过A,B,C三点.
(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;
(2)过定点Q的直线l:y=kx﹣k+3与二次函数图象相交于M,N两点.
①若S△PMN=2,求k的值;
②*:无论k为何值,△PMN恒为直角三角形;
③当直线l绕着定点Q旋转时,△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动,直接写出该抛物线的表达式.
【回答】
【解答】解:(1)OB=1,tan∠ABO=3,则OA=3,OC=3,
即点A、B、C的坐标分别为(0,3)、(﹣1,0)、(3,0),
则二次函数表达式为:y=a(x﹣3)(x+1)=a(x2﹣2x﹣3),
即:﹣3a=3,解得:a=﹣1,
故函数表达式为:y=﹣x2+2x+3,
点P(1,4);
(2)将二次函数与直线l的表达式联立并整理得:
x2﹣(2﹣k)x﹣k=0,
设点M、N的坐标为(x1,y1)、(x2,y2),
则x1+x2=2﹣k,x1x2=﹣k,
则:y1+y2=k(x1+x2)﹣2k+6=6﹣k2,
同理:y1y2=9﹣4k2,
①y=kx﹣k+3,当x=1时,y=3,即点Q(1,3),
S△PMN=2=PQ×(x2﹣x1),则x2﹣x1=4,
|x2﹣x1|=,
解得:k=±2;
②点M、N的坐标为(x1,y1)、(x2,y2)、点P(1,4),
则直线PM表达式中的k1值为:,直线PN表达式中的k2值为:,
为:k1k2===﹣1,
故PM⊥PN,
即:△PMN恒为直角三角形;
③取MN的中点H,则点H是△PMN外接圆圆心,
设点H坐标为(x,y),
则x==1﹣k,
y=(y1+y2)=(6﹣k2),
整理得:y=﹣2x2+4x+1,
即:该抛物线的表达式为:y=﹣2x2+4x+1.
知识点:各地中考
题型:综合题