如图,在平面直角坐标系中,双曲线经过点B,连结OB.将OB绕点O按顺时针方向旋转90°并延长至A,使OA=2O...
问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,双曲线经过点B,连结OB.将OB绕点O按顺时针方向旋转90°并延长至A,使OA=2OB,且点A的坐标为(4,2).
(1)求过点B的双曲线的函数关系式;
(2)根据反比例函数的图像,指出当x<-1时,y的取值范围;
(3)连接AB,在该双曲线上是否存在一点P,使得S△ABP=S△ABO,若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1)双曲线的函数关系式为y=﹣;
(2)当x<﹣1时,0<y<2;
(3)存在;点P坐标为(﹣,4).
【解析】
试题分析:(1)作AM⊥x轴于点M,BN⊥x轴于点N,由相似三角形的判定定理得出△AOM∽△OBN,OA=2OB,再根据OA=2OB,点A的坐标为(4,2)可得出B点坐标,进而得出反比例函数的关系式;
(2)由函数图象可直接得出结论;
(3)根据AB两点的坐标可知AB∥x轴,S△ABP=S△ABO=5,再分当点P在AB的下方与当点P在x轴上方两种情况即可得出结论.
试题解析:(1)作AM⊥x轴于点M,BN⊥x轴于点N,
∵OB⊥OA,∠AMO=∠BNO=90°,
∴∠AOM=∠NBO,
∴△AOM∽△OBN.
∵OA=2OB,
∴,
∵点A的坐标为(4,2),
∴BN=2,ON=1,
∴B(﹣1,2).
∴双曲线的函数关系式为y=﹣;
(2)由函数图象可知,当x<﹣1时,0<y<2;
(3)存在.
∵yA=yB,
∴AB∥x轴,
∴S△ABP=S△ABO=5,
∴当点P在AB的下方时,点P恰好在x轴上,不合题意舍去;
当点P在x轴上方时,点P在第二象限,得AB•(yP﹣2)=5,即×5×(yP﹣2)=5,解得yP=4,
∴点P坐标为(﹣,4).
考点:1、相似三角形的判定与*质;2、待定系数法;3、函数大小的比较;4、反比例函数
知识点:二次函数的图象和*质
题型:解答题