在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的...
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问题详情:
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M,点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求∠EDF的最小值.
【回答】
解:(1)由椭圆的离心率为,得a2=2(a2-b2).
又当y=1时,x2=a2-,得a2-=2,
所以a2=4,b2=2,
因此椭圆方程为+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).
因为|NF|=|m|,
令y=t+,所以y′=1-.
当t≥3时,y′>0,
从而y=t+在[3,+∞)上单调递增,
因此t+≥,
等号当且仅当t=3时成立,此时k=0,
所以≤1+3=4,
由(*)得-<m<且m≠0.
故≥,
设∠EDF=2θ,则sin θ=≥,
所以θ的最小值为.
从而∠EDF的最小值为,此时直线l的斜率是0.
综上所述:当k=0,m∈(-,0)∪(0,)时,∠EDF取到最小值.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题