如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于...
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如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），顶点为D，对称轴交x轴于点E．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设M为该抛物线对称轴左侧上的一点，过点M作直线MN∥x轴，交该抛物线于另一点N．是否存在点M，使四边形DMEN是菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接CE（如图2），设点P是位于对称轴右侧该抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q．连接PE，请求出当△PQE与△COE相似时点P的坐标．
【回答】
解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将点C（0，﹣2）代入，得：﹣3a＝﹣2，
解
得a＝
，
则抛物线解析式为y＝
（x+1）（x﹣3）＝
x2﹣
x﹣2；
（2）∵y＝
x2﹣
x﹣2＝
（x﹣1）2﹣
，
∴顶点D（1，﹣
），即DE＝
，
∵四边形
DMEN是菱形，
∴点M的纵坐标为﹣
，
则
x2﹣
x﹣2＝﹣
，
解得x＝1±
，
∵M为该抛物线对称轴左侧上的一点，
∴x＜1，
则x＝1﹣
，
∴点M坐标为（1﹣
，﹣
）；
（3）∵C（0，﹣2），E（
1，0），
∴OC＝2，OE＝1，
如图，设P（m，
m2﹣
m﹣2）（m＞1），
则PQ＝|
m2﹣
m﹣2|，EQ＝m﹣1，
①若△COE∽△PQE，则
＝
，即
＝
，
解得m＝0（舍）或m＝
5或m＝2或m＝﹣3（舍），
此时点P坐标为（5，8）或（2，﹣2）；
②若△COE∽△EQP，则
＝
，即
＝
，
解得m＝
（负值舍去）或m＝
，
此时点P的坐标为（
，
）或（
，
）；
综上，点P的坐标为（5，8）或（2，﹣2）或（
，
）或（
，
）．
知识点：二次函数与一元二次方程
题型：综合题
