如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB、BC的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB、BC的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（BC＞AB），OA＝2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点E出发沿折线段ED﹣DA向点A运动，运动的时间为t（0≤t＜6）秒，设△BOP与矩形AOED重叠部分的面积为S．

（1）求点D的坐标；

（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BEP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）∵x2﹣7x+12＝0，

∴x1＝3，x2＝4，

∵BC＞AB，

∴BC＝4，AB＝3，

∵OA＝2OB，

∴OA＝2，OB＝1，

∵四边形ABCD是矩形，

∴点D的坐标为（﹣2，4）；

（2）设BP交y轴于点F，

如图1，当0≤t≤2时，PE＝t，

∵CD∥AB，

∴△OBF∽△EPF，

∴＝，即＝，

∴OF＝，

∴S＝OF•PE＝••t＝；

如图2，当2＜t＜6时，AP＝6﹣t，

∵OE∥AD，

∴△OBF∽△ABP，

∴＝，即＝，

∴OF＝，

∴S＝•OF•OA＝××2＝﹣t+2；

综上所述，S＝；

（3）由题意知，当点P在DE上时，显然不能构成等腰三角形；

当点P在DA上运动时，设P（﹣2，m），

∵B（1，0），E（0，4），

∴BP2＝9+m2，BE2＝1+16＝17，PE2＝4+（m﹣4）2＝m2﹣8m+20，

①当BP＝BE时，9+m2＝17，解得m＝±2，

则P（﹣2，2）；

②当BP＝PE时，9+m2＝m2﹣8m+20，解得m＝，

则P（﹣2，）；

③当BE＝PE时，17＝m2﹣8m+20，解得m＝4±，

则P（﹣2，4﹣）；

综上，P（﹣2，2）或（﹣2，）或（﹣2，4﹣）．

知识点：各地中考

题型：综合题