已知函数，其中.（1）求函数的零点个数；（2）*：是函数存在最小值的充分而不必要条件.
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问题详情：
已知函数
，其中
.
（1）求函数
的零点个数；
（2）*：
是函数
存在最小值的充分而不必要条件.
【回答】
解（1）由
，
得
………………………………2分
令
，得
，或
.
所以当
时，函数
有且只有一个零点：
；当
时，函数
有两个相异的零点：
，
.……………………………………………………5分
（2）①当
时，
恒成立，此时函数
在
上单调递减，
所以，函数
无极值.……………………………………………………………6分
②当
时，
，
的变化情况如下表：
所以，
时，
的极小值为
.
又
时，
，
所以，当
时，
恒成立.
所以，
为
的最小值.
故
是函数
存在最小值的充分条件.………………………………10分
③当
时，
，
的变化情况如下表：
因为当
时，
，
又
，
所以，当
时，函数
也存在最小值.
所以，
不是函数
存在最小值的必要条件.
综上，
是函数
存在最小值的充分而不必要条件.……………………12分
知识点：函数的应用
题型：解答题
