（1）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，点D为BC的中点，以CD为一边作...
问题详情：
（1）【问题发现】
如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为
（2）【拓展研究】
在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出*；
（3）【问题发现】
当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．
【回答】
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=AC=2，
根据勾股定理得，BC=
AB=2
，
点D为BC的中点，
∴AD=
BC=
，
∵四边形CDEF是正方形，
∴AF=EF=AD=
，
∵BE=AB=2，
∴BE=
AF，
故*为BE=AF；
（2）无变化；[来源:学科网]
如图2，在Rt△ABC中，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴sin∠ABC=
=
，
在正方形CDEF中，∠FEC=
∠FED=45°，
在Rt△CEF中，sin∠FEC=
，
∴
，
∵∠FCE=∠ACB=45°，
∴∠FCE﹣∠ACE=∠ACB﹣∠ACE，
∴∠FCA=∠ECB，[来源:学科网ZXXK]
∴△ACF∽△BCE，
∴
，
∴BE=AF，
∴线段BE与AF的数量关系无变化；
（3）当点E在线段AF上时，如图2，
由（1）知，CF=EF=CD=，
在Rt△BCF中，CF=，BC=2，
根据勾股定理得，BF=
，
∴BE=BF﹣EF=
﹣，
由（2）知，BE=
AF，
∴AF=
﹣1，
当点E在线段BF的延长线上时，如图3，
在Rt△ABC中，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴sin∠ABC=
=
，
在正方形CDEF中，∠FEC=
∠FED=45°，
在Rt△CEF中，sin∠FEC=
，
∴
，
∵∠FCE=∠ACB=45°，
∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，
∴∠FCA=∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，
∴
，
∴BE=
AF，
由（1）知，CF=EF=CD=
，
在Rt△BCF中，CF=
，BC=2，
根据勾股定理得，BF=
，
∴BE=BF+EF=
+
，
由（2）知，BE=
AF，
∴AF=
+1．
即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为
﹣1或
+1．
知识点：相似三角形
题型：综合题
