已知函数f(x)＝ lnx－x＋ ，其中a>0.（1）若f(x)在(0，＋∞)上存在极值点，求a的取值范...
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已知函数f(x)＝ 
lnx－x＋ 
，其中a>0. （1）若f(x)在(0，＋∞)上存在极值点，求a的取值范围； （2）设a∈(1，e]，当x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)时，记f(x2)－f(x1)的最大值为M(a)．那么M(a)是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．
【回答】
（1）解： f′(x)＝ 
－1－ 
＝ 
，x∈(0，＋∞)． ①当a＝1时，f′(x)＝－ 
≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不存在极值点； ②当a>0且a≠1时，f′(a)＝f′ 
＝0.经检验a， 
均为f(x)的极值点． ∴a∈(0,1)∪(1，＋∞)． （2）解：当a∈(1， e]时，0< 
<1<a.由(1)知，当f′(x)>0时， 
<x<a；当f′(x)<0时，x>a或x< 
. ∴f(x)在 
上单调递减，在 
上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减． ∴对∀x1∈(0,1)，有f(x1)≥f 
；对∀x2∈(1，＋∞)，有f(x2)≤f(a)．∴[f(x2)－f(x1)]max＝f(a)－f 
. ∴M(a)＝f(a)－f ＝ 
－ 
＝2 
，a∈(1，e]． M′(a)＝2 
lna＋2 
＋2 
＝2 
lna，a∈(1，e]．∴M′(a)>0，即M(a)在(1，e]上单调递增． ∴M(a)max＝M(e)＝2 
＋2 
＝ 
.∴M(a)存在最大值 
.
知识点：高考试题
题型：解答题
