如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y＝x2+x的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标...

问题详情：

如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y＝x2+x的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）

（1）求点A、B的坐标；

（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；

（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）当x＝﹣4时，y＝×（﹣4）2+×（﹣4）＝﹣4

∴点A坐标为（﹣4，﹣4）

当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2

解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6

∵点A在点B的左侧

∴点B坐标为（﹣1，﹣2）

（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G

∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2

∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'

∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°

∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°

∴∠B'OG＝∠OBE

在△B'OG与△OBE中

∴△B'OG≌△OBE（AAS）

∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1

∵点B'在第四象限

∴B'（2，﹣1）

同理可求得：A'（4，﹣4）

∴OA＝OA'＝

∵抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过点A'、B'

∴   解得：

∴抛物线F2解析式为：y＝x2﹣3x+4

∴对称轴为直线：x＝﹣＝6

∵点M在直线x＝6上，设M（6，m）

∴OM2＝62+m2，A'M2＝（6﹣4）2+（m+4）2＝m2+8m+20

∵点A'在以OM为直径的圆上

∴∠OA'M＝90°

∴OA'2+A'M2＝OM2

∴（4）2+m2+8m+20＝36+m2

解得：m＝﹣2

∴A'M＝

∴S△OA'M＝OA'•A'M＝＝8

（3）在坐标轴上存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．

∵B'（2，﹣1）

∴直线OB'解析式为y＝﹣x

   解得：（即为点B'）

∴C（8，﹣4）

∵A'（4，﹣4）

∴A'C∥x轴，A'C＝4

∴∠OA'C＝135°

∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°

∵A（﹣4，﹣4），即直线OA与x轴夹角为45°

∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似

∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°（如图2、图3）

①若△AOD∽△OA'C，则＝1

∴OD＝A'C＝4

∴D（4，0）或（0，4）

②若△DOA∽△OA'C，则

∴OD＝OA'＝8

∴D（8，0）或（0，8）

综上所述，点D坐标为（4，0）、（8，0）、（0，4）或（0，8）时，以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．

知识点：各地中考

题型：综合题