某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其*质时，经历了如下过程：●*作发现：在等腰△ABC中，AB＝AC，分...

问题详情：

某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其*质时，经历了如下过程：

●*作发现：

在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是　     　（填序号即可）

①AF＝AG＝AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB＝∠DMB．

●数学思考：

在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出*过程；

●类比探究：

在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：　       　．

【回答】

解：●*作发现：

∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，

∴∠ABD＝∠DAB＝∠ACE＝∠EAC＝45°，∠ADB＝∠AEC＝90°

在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（AAS），∴BD＝CE，AD＝AE，

∵DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，∴AF＝BF＝DF＝AB，AG＝GC＝GE＝AC．

∵AB＝AC，∴AF＝AG＝AB，故①正确；

∵M是BC的中点，∴BM＝CM．

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC+∠ABD＝∠ACB+∠ACE，

即∠DBM＝∠ECM．

在△DBM和△ECM中，∴△DBM≌△ECM（SAS），∴MD＝ME．故②正确；

连接AM，根据前面的*可以得出将图形1，沿AM对折左右两部分能完全重合，

∴整个图形是轴对称图形，故③正确．

∵AB＝AC，BM＝CM，∴AM⊥BC，∴∠AMB＝∠AMC＝90°，

∵∠ADB＝90°，∴四边形ADBM四点共圆，∴∠ADM＝∠ABM，

∵∠AHD＝∠BHM，∴∠DAB＝∠DMB，故④正确，故*为：①②③④

●数学思考：MD＝ME，MD⊥ME．

理由：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，∴AF＝AB，AG＝AC．

∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，∴DF⊥AB，DF＝AB，EG⊥AC，EG＝AC，

∴∠AFD＝∠AGE＝90°，DF＝AF，GE＝AG．

∵M是BC的中点，∴MF∥AC，MG∥AB，∴四边形AFMG是平行四边形，

∴AG＝MF，MG＝AF，∠AFM＝∠AGM．∴MF＝GE，DF＝MG，∠AFM+∠AFD＝∠AGM+∠AGE，∴∠DFM＝∠MGE．

在△DFM和△MGE中，，∴△DFM≌△MGE（SAS），

∴DM＝ME，∠FDM＝∠GME．

∵MG∥AB，∴∠GMH＝∠BHM．

∵∠BHM＝90°+∠FDM，∴∠BHM＝90°+∠GME，

∵∠BHM＝∠DME+∠GME，∴∠DME+∠GME＝90°+∠GME，即∠DME＝90°，

∴MD⊥ME．∴DM＝ME，MD⊥ME；

●类比探究：

∵点M、F、G分别是BC、AB、AC的中点，∴MF∥AC，MF＝AC，MG∥AB，MG＝AB，

∴四边形MFAG是平行四边形，∴MG＝AF，MF＝AG．∠AFM＝∠AGM

∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，∴DF＝AF，GE＝AG，∠AFD＝∠BFD＝∠AGE＝90°

∴MF＝EG，DF＝MG，∠AFM﹣∠AFD＝∠AGM﹣∠AGE，即∠DFM＝∠MGE．

在△DFM和△MGE中，，

∴△DFM≌△MGE（SAS），∴MD＝ME，∠MDF＝∠EMG．

∵MG∥AB，∴∠MHD＝∠BFD＝90°，∴∠HMD+∠MDF＝90°，∴∠HMD+∠EMG＝90°，

即∠DME＝90°，∴△DME为等腰直角三角形．

知识点：平行四边形

题型：解答题