(问题原型)如图①,AB∥CD,点M在直线AB、CD之间,则∠M=∠B+∠D,小明解决上述问题的过程如下:如图...
问题详情:
(问题原型)
如图①,AB∥CD,点M在直线AB、CD之间,则∠M=∠B+∠D,小明解决上述问题的过程如下:
如图②,过点M作MN∥AB
则∠B=_______(_______)
∵AB∥CD,(已知)
MN∥AB(辅助线的做法)
∴MN∥CD(______)
∴∠______=∠D(______)
∴∠B+∠D=∠BMD
请完成小明上面的过程.
(问题迁移)
如图③,AB∥CD,点M与直线CD分别在AB的两侧,猜想∠M、∠B、∠D之间有怎样的数量关系,并加以说明.
(推广应用)
(1)如图④,AB∥CD,点M在直线AB、CD之间,∠ABM的平分线与∠CDM的平分线交于点N,∠M=96°,则∠N=_____°;
(2)如图⑤,AB∥CD,点M与直线CD分别在AB的两侧,∠ABM的平分线与∠CDM的平分线交于点N,∠N=25°,则∠M=______°;
(3)如图⑥,AB∥CD,∠ABG的平分线与∠CDE的平分线交于点M,∠G=78°,∠F=64°,∠E=64°,则∠M=_______°.
【回答】
(问题原型)∠BMN;两直线平行,内错角相等;平行于同一条直线的两直线平行;∠NMD;两直线平行,内错角相等;(问题迁移)∠BMD=∠D﹣∠B;*见解析;(推广应用)(1)∠N=48°;(2)∠M=50°;(3)∠M=39°,
【解析】
(问题原型):过点M作MN∥AB,根据平行线的*质即可得*;(问题迁移)过点M作MN∥AB,由平行线的*质可得∠1=∠B,∠NMD=∠D,利用角的和差即可得*;(推广应用):(1)利用图②结论,结合角平分线的*质即可得*;(2)利用图③的结论,结合角平分线的*质即可得出*;(3)如图⑥,过G,F,E分别作GN∥AB,FH∥AB,EP∥AB,根据平行线的*质,结合角平分线的*质利用图②的结论即可得出*.
【详解】
(问题原型):
如图②,过点M作MN∥AB,
则∠B=∠BMN(两直线平行,内错角相等)
∵AB∥CD,(已知)
∴MN∥AB(辅助线的做法)
∴MN∥CD(平行于同一条直线的两直线平行)
∴∠NMD=∠D(两直线平行,内错角相等)
∴∠B+∠D=∠BMD,
故*为∠BMN,两直线平行,内错角相等,平行于同一条直线的两直线平行,∠NMD,两直线平行,内错角相等,
(问题迁移):
如图③,过点M作MN∥AB,
∴∠1=∠B,
∵AB∥CD,
∴MN∥AB,
∴∠NMD=∠D,
∵∠NMD=∠1+∠BMD,
∴∠BMD=∠D﹣∠B;
(推广应用):
(1)如图④,由如图②的结论可得,∠ABM+∠CDM=∠M=96°,∠N=∠ABN+∠CDN,
∵BN,DN分别平分∠ABM,∠CDM,
∴∠ABN+∠CDN==(∠ABM+∠CDM)=48°,
∴∠N=48°;
(2)如图⑤,由如图③的结论可得,∠M=∠CDM﹣∠ABM,
∵BN,DN分别平分∠ABM,∠CDM,
∴∠CDN﹣∠ABN=∠CDM﹣∠ABM=(∠CDM﹣∠ABM)=∠M=∠N=25°,
∴∠M=50°;
(3)如图⑥,过G,F,E分别作GN∥AB,FH∥AB,EP∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥GN∥FH∥EP∥CD,
∴∠2=∠GFH,∠3=∠EFH,
∴∠2+∠3=∠GFE=64°,
∴∠1+∠4=∠BGF+∠DEF﹣∠GFE=78°,
∵AB∥GN,EP∥CD,
∴∠ABG=∠1,∠CDE=∠4,
∴∠ABG+∠CDE=78°,
∵BM,DM分别平分∠ABG,∠CDE,
∴∠ABM=∠ABG,∠CDM=∠CDE,
由如图②中的结论可得∠M=∠ABM+∠CDM=(∠ABG+∠CDE)=×78°=39°,
故*为48,50,39.
【点睛】
本题考查平行线的*质及角平分线的*质,两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补;熟练掌握平行线的*质并正确作出辅助线是解题关键.
知识点:角
题型:解答题